Abstract
В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения задачи Дирихле для единичного шара в $\mathbb R^d$ с центром в нуле. Требуется наилучшим образом восстановить это решение на сфере радиуса $\rho <1$ с центром в нуле по следующей информации: известно, что граничная функция $f$, заданная на единичной сфере $\mathbb S^{d-1}$, принадлежит некоторому классу, содержащемуся в пространстве $L_2(\mathbb S^{d-1})$, и о каждой функции из этого класса известен со случайной ошибкой конечный набор ее первых коэффициентов Фурье. Указанный класс представляет собой множество тех $f\in L_2(\mathbb S^{d-1})$, у которых норма в $L_2(\mathbb S^{d-1})$ заданной дробной степени сферического оператора Лапласа--Бельтрами этой функции не превосходит единицы. В работе построены явные выражения для оптимальных методов восстановления, зависящих от величины дисперсии случайной погрешности, и найдены точные значения соответствующих погрешностей. Эти методы линейны и используют, вообще говоря, не всю доступную для измерения информацию. Явные выражения для оптимальных методов позволяют строить эффективные численные алгоритмы решения подобных задач, где исходная информация задана неточно. Решенная задача принадлежит тому направлению в теории приближений, которое сформировалось в семидесятые годы прошлого века и которое называют теорией оптимального восстановления линейных функционалов и операторов на классах множеств, элементы которых известны приближенно. Данная теория активно развивалась и обобщалась в различных направлениях. При этом основное внимание было уделено задачам с детерминированной погрешностью. Настоящая работа является одной из первых, где дается точное решение задачи оптимального восстановления, когда информация известна со случайной ошибкой.